مثالی برای سود مرکب و بهره ساده

ارزش 100 واحد پول امروز پس از گذشت دو سال با نرخ بهره‌ی ساده‌ی سالانه‌ی ۵ درصد

تابع RATE اکسل-محاسبه نرخ بهره %

امروز برای دریافت وام به بانک مراجعه کردم و در خواست 5 میلیون تومان وام داشتم.از آن ها خواستم بهترین نوع وام را به من پیشنهاد دهند تا در بازه زمانی بالا و بهره کم آن را دریافت نمایم.مسئول شعبه به من گفت: ماهیانه باید 114 تومان قسط به مدت 48 ماه پرداخت نمایید.

خوب خدا رو شکر پیشنهاد خیلی خوبی بود ولی نرخ بهره سالانه این وام به من اعلام نشد.جای نگرانی نیست به کمک تابع RATE نرخ بهره (سود) را با یکدیگر محاسبه می کنیم.

ساختار تابع RATE:

RATE( nper , pmt , pv , [fv] , [type] , [guess] )

( نرخ تخمینی بهره , نوع پرداخت , ارزش آتی , ارزش فعلی یا کل مبلغ وام , مبلغ هر قسط , کل دوره های پرداخت )RATE

nper:تعداد کل دوره های پرداخت را در این قسمت وارد می کنیم.در مثال گفته شده است که به مدت 4 سال و هر سال 12 ماه می باشد.پس جمعا در طی 48 ماه باید وام را پرداخت نمایم.

pmt:مبلغ هر قسط را در این قسمت وارد می کنیم.در مثال گفته شده است که باید ماهانه 114 هزارتومان پرداخت نماییم.

pv:ارزش فعلی یا اصل مبلغ وام را در این قسمت وارد می کنیم.یعنی مبلغ 5000000 تومان

Fv:وارد کردن این آیتم اختیاری بوده و می توانید آن را خالی رها کنید.ولی در این قسمت می توانید ارزش آتی را وارد نمایید.در صورت خالی رها کردن مقدار آن برابر با صفر خواهد بود.

type:وارد کردن این آیتم اختیاری بوده و می توانید آن را خالی رها کنید.ولی این قسمت نحوه پرداخت را تعیین می کند.اگر برابر با 0 بود یعنی در پایان هر دوره قسط پرداخت می شود و اگر 1 بود در ابتدای دوره قسط پرداخت می شود.در صورتی که خالی رها کردن مقدار آن صفر خواهد بود.

guess:آرگومانی اختیاری است و نرخ تخمینی برای بهره را نشان می دهد.میتوانید از این آیتم صرف نظر نمایید و اجازه دهید اکسل براساس پیش فرض خود محاسبه را انجام دهد و هم می توانید یک عدد قرار دهید (پیش فرض (0.1) 10%می باشد).عددی که قرار می دهید باید بین 0 و 1 باشد.

خوب پس فرمول زیر را خواهیم داشت:

این عدد نرخ بهره به صورت ماهانه می باشد.برای اینکه نرخ بهره سالانه را محاسبه کنیم باید این عدد را در 12 ضرب نماییم.

نرخ بهره سالانه = 0.0037435474302995 *12=0.044922569163594

این عدد نرخ بهره به صورت سالانه می باشد.یعنی سالانه باید 4.49% بهره پرداخت نمایم.

در راه برگشت از بانک تبلیغات یکی از بیمه های عمر را دیدیم.نوشته شده بود،شما با پرداخت 50 هزار تومان به مدت 10 سال علاوه بر خدمات بیمه ای ، 12 میلیون تومان دریافت خواهید کرد.نرخ بهره این نوع پوشش بیمه ای را حساب کنید.

RATE( nper , pmt , pv , [fv] , [type] , [guess] )

( نرخ تخمینی بهره , نوع پرداخت , ارزش آتی , ارزش فعلی یا کل مبلغ وام , مبلغ هر قسط , کل دوره های پرداخت )RATE

RATE( 120 , -50000 , 0 , 12000000 )=0.0105990271808159

این نرخ را در 12 ضرب می کنیم تا نرخ بهره سالانه به دست آید.12.72% نرخ سود سالانه این نوع پوشش خواهد بود.

در این مثال به شما نشان دادیم که چطور از گزینه FV استفاده کنید.

اما به نکات زیر و ویژگی های تابع RATE توجه کنید:

نکته: pmt مقدار پرداخت در هر دوره می باشد که در طول دوره سالانه تغییر نمی کند. معمولا pmt شامل اصل و بهره می باشد اما هیچ هزینه دیگری یا مالیات بر آن اعمال نمی شود. اگر pmt حذف شود باید استدلال Fv را انجام دهید.

نکته: fv ارزش آینده یا مانده وجه نقدی می باشد که قصد دریافت آن بعد از آخرین پرداختی دارید. اگر حذف گردد یعنی مقدار آن صفر در نظر گرفته شده است و در این حالت باید باید استدلال pmt را انجام دهید.

نکته:اگر Rate همگرا نشود تخمین های مختلف را امتحان نمایید و معمولا تابع Rate در تخمین هایی با مقدار 0 الی 1 همگرا می شود

نکته:نرخ بهره (نرخ بازگشت سرمایهROR ) در هر دوره سالیانه بازگشت دارد. Rateبا تکرار محاسبه می شود و می تواند صفر راه حل یا بیشتر داشته باشد. اگر نتایج پی در پی این تابع بعد از 20 بار تکرار به 0.0000001 نرسد تابع خطای NUM! # می دهد.

نکته:زمانی که علامت مثبت و منفی را برای جریان نقدی pmt بکار نبرید تابع خطای NUM! # خواهد داد

نکته:زمانی که هر کدام از آرگومان مقداری غیر عددی به خود بگیرند

مساله اول: نتیجه تابع خیلی بیشتر یا خیلی کمتر از مقدار مورد انتظار باشد

راه حل ممکن: هنگام محاسبه ماهانه یا سه ماهانه پرداخت ها بسیاری از کاربران تبدیل نرخ بهره به دوره ماهانه یا سه ماهانه را فراموش می نمایند

مساله دوم: نتیجه تابع RATE مقدار صفر یا مقداری درصدی را نشان می دهد و هیچ رقم اعشاری را نشان ندهد

راه حل ممکن: این مساله ممکن است به خاطر فرمت سلول حاوی تابع می باشد بایستی فرمت سلول به حالت درصدی(percentage) با دو رقم اعشار یا بیشتر تغییر دهید.

مفهوم بهره مرکب با مثال ساده

بحث بهره مرکب با این پیش فرض‌ها شروع می‌شود که اولا درآمدهای سرمایه‌گذاری شما دوباره سرمایه‌گذاری می‌شوند‌ ثانیا شما باید مدت زمانی منتظر باشید تا سرمایه‌گذاری‌های شما همراه با درآمدهای آن رشد کنند. هر چه مدت زمان زیادی به سرمایه‌گذاری‌تان فرصت بدهید، به شتاب رشد سرمایه‌گذاری‌های شما افزوده خواهد شد.
برای روشن شدن بحث یک مثال می‌زنیم:
فرض کنید شما مبلغ ۱۰ هزار دلار پول دارید و می‌خواهید آن را در حسابی که سود سالانه ۶‌درصد دارد، سرمایه‌گذاری کنید. در صورت انجام این کار در پایان سال اول اصل و سود سرمایه‌گذاری شما برابر ۱۰هزار و ششصد دلار خواهد شد.
۱۰۶۰۰۰ = (۶% + ۱)×۱۰۰۰۰
اگر به سرمایه‌گذاری خود دست نزنید و اصل و فرع آن در حساب شما باقی بماند، کل سرمایه‌گذاری شما در پایان سال دوم با ۶۰۰‌دلار اضافی دیگر به مبلغ ۱۱۲۰۰‌دلار نخواهد رسید، بلکه مبلغی اضافه‌تر از ۱۱۲۰۰‌‌دلار خواهد بود، چون برخلاف سال اول که فقط به ۱۰۰۰۰ دلار شما با بهره ۶‌درصد سود داده می‌شد در سال دوم علاوه بر مبلغ ۱۰۰۰۰ ‌دلار به بهره ۶۰۰‌دلاری سال اول هم بهره تعلق خواهد گرفت. یعنی اصل و فرع سرمایه‌گذاری شما در پایان سال دوم برابر ۱۱۲۳۶ دلار خواهد بود.
۱۱۲۳۶ = (۶% + ۱)×۱۰۶۰۰
۳۶‌دلاری که اضافه بر بهره‌های سالانه اصل سرمایه‌گذاری که بالغ بر دو رقم ۶۰۰‌دلاری یعنی ۱۲۰۰‌دلار عاید شما می‌شود، بهره سود ۶۰۰‌دلار سال اول است.
۳۶=۶% × ۶۰۰
به همین ترتیب در پایان سال سوم کل مبلغ اصل و فرع سرمایه‌گذاری شما برابر ۱۶/۱۱۹۱۰ دلار خواهد بود.
۱۶/ ۱۱۹۱۰ = (۶% + ۱) × ۱۱۲۳۶
در پایان سال سوم سود شما ۱۶/۶۷۴دلار است، در حالی که در پایان سال دوم مبلغ ۶۳۶‌دلار و در پایان سال اول فقط مبلغ ۶۰۰دلار بود. در همه این سودها مبلغ ۶۰۰‌دلار فرزندان سرما‌یه‌گذاری‌های‌تان هستند و مبالغ مازاد بر ۶۰۰‌دلار نوه‌های آن.
فرض کنید شما هر سال گلوله‌هایی برفی به وزن ۶۰۰ گرم به راه می‌اندازید و اینها در طول مسیر مدام به وزن خود اضافه می‌کنند و هر چه دیرتر جلوی آنها را بگیرید، وزنشان بیشتر خواهد شد.

علت اینکه به این نوع سرمایه‌گذاری، فرآیند سرمایه‌گذاری با احتساب بهره مرکب گفته می‌شود این مطلب است که علاوه بر اصل سرمایه‌گذاری شما، به بهره‌تان هم بهره تعلق می‌گیرد.
شروع زود هنگام
سام و پام را در در نظر بگیرید. وقتی پام ۲۵ ساله بود مبلغ ۱۵۰۰۰‌دلار در یک حساب سپرده‌ای که با نرخ بهره ۵/۵‌درصد برای هر سال سود می‌دهد، سرمایه‌گذاری می‌کند و چون آدم صبوری است وسوسه‌های مختلف خرید کالاهای گوناگون باعث نمی‌شود که به دنبال این مبلغ سرمایه‌گذاری شده برود‌.
‌اصل و فرع سرمایه‌گذاری او با احتساب بهره مرکب در ۲۵ سال بعد یعنی زمانی که ۵۰ ساله است، بالغ بر رقم ۵۷۲۰۰‌دلار خواهد شد. چون موضوع اصلی ما شیوه محاسبات انجام شده برای رسیدن به این عدد نیست از آن صرف‌نظر می‌شود.
دوست او آقای سام ۲۵ سالگی را برای سرمایه‌گذاری زود می‌دانست و سرمایه‌گذاری خود را در سن ۳۵ سالگی شروع کرد و دقیقا مشابه پام مبلغ ۱۵۰۰۰‌دلار در حسابی با نرخ سود ۵/۵‌درصد سپرده‌گذاری کرد.
بعد از ۱۵ سال که سام هم مثل پام ۵۰ساله شده است، اصل و فرع سرمایه‌گذاری برابر ۳۳۴۸۷‌دلار خواهد شد. هر دو این آقایان ۵۰ سال دارند، ولی حساب بانکی پام مبلغ ۲۳۷۱۳‌دلار بیشتر از حساب بانکی سام مانده نشان می‌دهد.
۲۳۷۱۳=۳۳۴۸۷-۵۷۲۰۰
یکی از تشبیهات زیبایی که در مورد سرمایه‌گذاری می‌توان از آن استفاده کرد، تشبیه آن به کاشتن درخت است. هیچ جای تعجب ندارد که درختی که پام ۱۵ سال قبل از سام کاشته است، محصولات بیشتری بدهد. پام زمان بیشتری به درخت سرمایه‌گذاریش داد تا رشد کنند. او بعد از ۲۵ سال روی مبلغ ۱۵۰۰۰دلار سرمایه گذاری خود مبلغ ۴۲۲۰۰ ‌دلار سود به دست آورد، ولی سام ‌روی مبلغ ۱۵۰۰۰‌سرمایه‌گذاری خود مبلغ ۱۸۴۸۷ ‌دلار سود کرد.
در نتیجه اگر در امکانتان است، از معجزه بهره مرکب استفاده کنید. اگر از سن ۲۱ تا ۶۵ سالگی ماهانه مبلغ ۱۰۰‌دلار پس‌انداز کنید و این مبلغ با نرخ بهره مرکب سالانه ۱۰‌درصد رشد کند در ۶۵ سالگی بیش از یک‌میلیون دلار خواهید داشت. ممکن است ۶۵ سالگی برای داشتن یک‌میلیون دلار زمان مناسبی نبوده و دیر هنگام باشد، ولی هدف فقط نشان دادن معجزه بهره مرکب بود.
به یاد داشته باشید که فرآیند بهره مرکب با رعایت دو اصل زیر کار خواهد کرد‌.
۱ – به اصل و سود سرمایه‌گذاری‌های خود دست نزنید.
۲ – منتظر باشید و به سرمایه‌گذاری‌های خود زمان بدهید.

ارزش زمانی پول چیست؟ + فرمول محاسبه

حتماً شنیده‌اید که زمان طلاست؛ این جمله از لحاظ ادبی نوعی استعاره است یعنی زمان ارزشمند است، شاید ارزشمندترین چیز. اقتصاد ، با استعاره‌ها کار نمی‌کند و ارزش‌ها‌ در آن با پول سنجیده می‌شود؛ زمان هم در این ضرب‌المثل از این سنجه و معیار یعنی ارزش‌گذاری با پول، گریزی ندارد و زمان با طلا و در واقع با پول برابر دانسته شده است. از سوی دیگر، پول هم از گذر زمان گریزی ندارد؛ زمان گذراست و بر پول هم می‌گذرد. بدین ترتیب مفهومی خلق می‌شود با عنوان ارزش زمانی پول. آیا زمان از نظر اقتصادی ارزشمند است؟ آیا علم اقتصاد هم زمان را طلا می‌داند و روی آن قیمت می‌گذارد؟

ارزش زمانی پول و باورهای غلط

برای درک مسئله‌ی ارزش زمانی پول باید تا حدودی پول را شناخت وگرنه مسئله به‌درستی دریافت نمی‌شود. نخست به دو نمونه‌ی جاافتاده و رایج از دریافت‌های نادرست از مفهوم ارزش زمانی پول اشاره می‌کنیم و در ادامه می‌کوشیم تا از مسیر مناسب وارد موضوع شویم.

احتمالاً در توصیف این مفهوم، این مثال را در اغلب وبگاه‌ها دیده‌اید که: اگر فردی بخواهد به شما مبلغی بدهد و از شما بپرسد که اکنون بپردازد یا سال آینده، قاعدتاً پاسخ بیشتر افراد، اکنون است؛ در تحلیل این‌که چرا بیشتر افراد، “اکنون” را انتخاب می‌کنند دلیل‌هایی می‌آورند، ازجمله تورم، عدم اطمینان به آینده، امکان سرمایه‌گذاری و کسب سود بیشتر و دلایل روانی (مانند مطلوبیت سرعت در امور رضایت‌بخش) تا ضرب‌المثل «سیلی نقد، به از حلوای نسیه».

این دلایل درست است و جای چون‌وچرا ندارد؛ قصد مناقشه در مثل نداریم اما به نظر شما این مثال برای طرح مسئله‌ی ارزش زمانی پول مناسب است؟ این‌که بیشتر افراد، اکنون را انتخاب می‌کنند، مسئله‌ای نیست که نیازمند تحلیل باشد چون این پرسش از پیش، ارزش زمانی پول را مفروض گرفته است، مسئله‌ی اصلی که در این مثال به چشم می‌آید و نیاز به بررسی و تحلیل دارد، درک دلایل معدود افرادی است که سال آینده را برای دریافت پول انتخاب می‌کنند؛ چرا به امروز نه می‌گویند و به سالی دیگر آری؟

مثال دوم: «اگر آن زمان فلان مبلغ پول داشتم مجبور به فروش ماشینم نبودم». در این گزارش واژگان زمان و پول کنار هم قرار دارند؛ اما این گزارشی از نبود یا کمبود پول نقد در آن مقطع زمانی است و ارتباطی به ارزش زمانی پول ندارد. نبود یا کمبود پول در مقطعی از زمان، یک چیز است و ارزش زمانی پول چیزی دیگر؛ هرچند ممکن است آن مبلغ در زمان مورد نیاز در حکم نوشدارو باشد و بود و نبودش، به‌معنای مرگ و زندگی. در ارزش زمانی پول، سخن از ارزش پولی است که هست، بوده یا خواهد بود (در گذشته، اکنون و آینده) و نه پولی که نبوده، نیست یا نخواهد بود.

ارزش زمانی پول و شناخت پول

گفتیم که برای درک مسئله‌ی ارزش زمانی پول باید تا حدودی پول را شناخت. منظور از شناخت پول در این بحث، شناخت کارکردهای پول است. در حالت کلی می‌توان برای پول سه کارکرد متفاوت در نظر گرفت:

1. مبادله‌ای: شخصی کالا یا خدمتی را می‌فروشد و در ازای آن پولی دریافت می‌کند و با آن کالا یا خدمتی دیگر را می‌خرد.
2. مقایسه‌ای (شمارندگی): پول عددی را به هر کالا یا خدمت نسبت می‌دهد و براین‌اساس می‌توان دریافت که یک کالا یا خدمت نسبت به دیگر کالاها یا خدمات، چه جایگاهی دارد، ارزان‌تر است یا گران‌تر.
3. ذخیره‌ای: شخص کالا یا خدمتی را می‌فروشد ولی با پول آن کالا یا خدمتی دیگر را نمی‌خرد بلکه پول آن را برای آینده ذخیره می‌کند

از میان این سه، کارکرد ذخیره‌ای است که با زمان مرتبط است و هرگونه نوسان ارزش پول در طول زمان، بر این کارکرد اثر می‌گذارد و این جاست که مسئله‌ی ارزش زمانی پول مطرح می‌شود. به بیان دیگر کارکردهای مبادله‌ای و مقایسه‌ای پول، هم‌زمانی‌اند (Synchronic) ولی کارکرد ذخیره‌ای، درزمانی (Diachronic). در کارکردهای مبادله‌ای و مقایسه‌ای با ارزش فعلی و اکنون (Present value (PV)) طرفیم که معلوم است ولی در کارکرد ذخیره‌ای مهم است بدانیم ارزش آتی پول ((FV)Future Value) چقدر است. در ادامه درباره‌ی نحوه‌ی محاسبه‌ی ارزش آتی پول بیشتر توضیح خواهیم داد.

ارزش زمانی پول چیست؟

پول، بسته به زمان دارای ارزش است:

ارزش آتی پول (FV) یعنی دانستن میزان ارزش پول امروز در آینده‌ای معین. تخمین ارزش آتی پول یکی از عوامل مهم برای تصمیم‌گیری‌های اقتصادی و سرمایه‌گذاری است. بخش‌ها، بازارها و بنگاه‌های اقتصادی، هر یک چشم‌اندازی از سود یا بهره‌ی پول در مدت زمانی معین (دوره) به تصویر می‌کشند که در واقع ارزش آتی پول را تعیین می‌کند. نرخ سود یا بهره (Interest) هم دو گونه است؛ بهره‌ی ساده و بهره‌ی مرکب که در بخش بعد توضیح کاملی از این دو نوع بهره ارائه خواهد شد.

ارزش زمانی پول و انواع بهره

• بهره‌ی ساده که فقط به اصل پول تعلق می‌گیرد
• بهره‌ی مرکب که علاوه بر اصل پول به سود آن هم تعلق می‌گیرد

البته توجه داریم که بهره‌ی مرکب زمانی معنا می‌یابد که زمان سرمایه‌گذاری بیش از یک دوره باشد (منظور از یک دوره مدت‌زمان معینی است که باید از سرمایه‌گذاری بگذرد تا مشمول بهره شود)؛ چون در طول تنها یک دوره، میان بهره‌ی ثابت و مرکب تفاوتی نیست.

اگر به آموزش در زمینه سرمایه‌گذاری علاقه‌مند هستید، وارد شوید .

فرمول محاسبه‌ی ارزش زمانی پول با سود ساده

می‌توان فرمول زیر را برای ارزش آتی در پایان یک دوره، معتبر دانست.

فرمول محاسبه‌ی ارزش زمانی پول با سود ساده

FV= ارزش آتی پول در پایان یک دوره
PV= ارزش فعلی
i= نرخ بهره‌ی هر دوره (Interest rate per period)

این فرمول برای محاسبه‌ی ارزش زمانی پول در پایان یک دوره، با بهره‌ی ساده/مرکب است. برای یادگیری این موضوع، در ادامه مثالی ارائه شده است.

مثالی از محاسبه‌ی ارزش زمانی پول با سود ساده

مثال: ارزش 100 واحد پول امروز در پایان سال با نرخ بهره‌ی سالانه‌ی ۵٪ چقدر خواهد بود؟

مثالی از محاسبه‌ی ارزش زمانی پول با سود ساده

برای محاسبه‌ی ارزش آتی پس از چند دوره مثالی برای سود مرکب و بهره ساده با بهره‌ی ساده، می‌توان از فرمول زیر استفاده کرد:

محاسبه‌ی ارزش آتی پس از چند دوره با بهره‌ی ساده

در این فرمول n تعداد دوره‌های بهره‌ی ساده است.

مثال: ارزش 100 واحد پول امروز پس از گذشت دو سال با نرخ بهره‌ی ساده‌ی سالانه‌ی ۵٪ چقدر خواهد بود؟

ارزش 100 واحد پول امروز پس از گذشت دو سال با نرخ بهره‌ی ساده‌ی سالانه‌ی ۵ درصد

فرمول ارزش زمانی پول با سود مرکب

برای محاسبه‌ی ارزش آتی پول با بهره‌ی مرکب، از فرمول زیر می‌توان استفاده کرد:

مثالی از ارزش زمانی پول با سود مرکب

ارزش 100 واحد پول امروز پس از گذشت دو سال با نرخ بهره‌ی مرکب سالانه‌ی ۵٪ چقدر خواهد بود؟

ارزش 100 واحد پول امروز پس از گذشت دو سال با نرخ بهره‌ی مرکب سالانه‌ی ۵ درصد

با استفاده از این فرمول‌ها می‌توان ارزش آتی را بر اساس نرخ بهره و دوره‌ی آن، محاسبه کرد.

تنزیل پول (Discount) در ارزش زمانی پول

تنزیل یعنی تبدیل ارزش آتی مثالی برای سود مرکب و بهره ساده به ارزش فعلی. با تنزیل پول، ارزش کنونی و فعلی پولی را که قرار است در آینده به دست بیاوریم، محاسبه می‌کنیم. با استفاده از همان فرمول‌های قبلی می‌توان با دردست‌داشتن ارزش آتی و نرخ بهره و دوره‌ی آن، ارزش کنونی پول را به دست آورد.

مثالی از محاسبه‌ی ارزش فعلی

فرض کنید قرار است پس از ۵ سال سرمایه‌گذاری در بانکی که سالانه سه درصد بهره‌ی مرکب پرداخت می‌کند، ۲۰ میلیون تومان در حساب خود ذخیره داشته باشیم. برای رسیدن به این هدف لازم است که امروز چه میزان پول در حساب خود داشته باشیم؟

مثالی از محاسبه‌ی ارزش فعلی

سخن پایانی آکادمی دانایان

دیدیم که ارزش زمانی پول چیست و زمان چگونه بر پول اثر می‌گذارد. با طریقه‌ی محاسبه‌ی ارزش زمانی نیز آشنا شدیم و می‌توانیم بر اساس نرخ بهره، مرکب یا ساده بودن و طول دوره، بهترین تصمیم را برای سرمایه‌گذاری اتخاذ کنیم.

در آغاز سخن به این مثل استعاری اشاره شد که پول طلاست، در مثال‌ها و محاسباتی که انجام شد دیدیم که زمان واقعاً و نه فقط به نحو استعاری، پول است. نمی‌توان از ارزش پول بدون توجه به زمان سخن گفت و این همان چیزی است که ارزش زمانی پول از آن سخن می‌گوید. زمان را باید غنیمت شمرد؛ از‌آنجا که زمان محدودترینِ منابع است و نقش پررنگی در سرمایه‌گذاری دارد، بایسته است که موردتوجه جدی قرار گیرد. هم‌سنگ پول باید به زمان بها داد و دارایی امروز را از دست نداد؛ امروز را باید از دارایی‌های تکرارنشدنی برشمرد.

سود مرکب برای گرفتن وام چطور محاسبه می‌شود؟

سود مرکب یا همان بهره مرکب یکی از مهم‌ترین محاسبه های مالی است که تقریبا در هر فعالیت اقتصادی به آن نیاز پیدا می‌کنیم. با این نوع سود می‌توانیم بهره بیشتری از سرمایه گذاری ها و سپرده گذاری هایمان ببریم. البته موقعی که وام می‌گیریم سود مرکب شرایط را برعکس می‌کند. اگر حواسمان را جمع نکنیم و محاسبات سود را به درستی انجام ندهیم و ممکن است موقع بازپرداخت دچار مشکل شویم و یا وامی را بگیریم که برای ما نفع آنچنانی نداشته باشد. در حقیقت پیش از هر چیز باید بدانیم چه زمانی سود وام را محاسبه کنیم. دانستن سود مرکب تنها یکی از ابزارهای مدیریت وام و حسابداری شخصی است.

سود مرکب چیست؟

مرکب شدن سود نحوه رشد بهره را تعیین می‌کند. از این حرف های پیچیده که بگذریم یعنی سود مرکب شبیه یک گلوله برفی عمل می‌کن؛ دقیقا مثل گلوله برفی کارتون پلنگ صورتی! یعنی سود از یک میزان کوچک شروع می‌شود و به مرور زمان با سقوط از کوه اندازه اش چند مثالی برای سود مرکب و بهره ساده برابر می‌شود.

سود مرکب چه اثری بر بازپرداخت یک وام دارد؟

حالا می‌خواهیم ببینیم، سود مرکب چه بر سر اقساط و بازپرداخت وام ما می‌آورد. برای این کار ابتدا سود ساده را توضیح می‌دهیم:

«سود ساده یعنی سود وام مبلغ مشخصی است و فقط عدد کلی را تقسیم بر تعداد ماه‌های بازپرداخت می‌کنیم. بنابراین با بالا رفتن ماه‌های بازپرداخت کل مبلغ سود ثابت می‌ماند و فقط مبلغ هر قسط و کاهش می‌یابد.»

خوب ببینیم سود مرکب چه حرفی با ما دارد:

«به زبان ساده در سود مرکب، ما سود بهره‌ها را هم پرداخت می‌کنیم. سود مرکب به شکل تصاعدی بالا می‌رود. بنابراین کل مبلغی که باید بازپرداخت کنیم با بالا رفتن زمان بازپرداخت افزایش می‌یابد. یعنی سود یک وام ۳۰ میلیون تومانی ۳ ساله خیلی کمتر از سود همان وام با مدت بازپرداخت ۵ ساله است.»

وقتش رسیده که از تعاریف بگذریم و به اصل قضیه برسیم.

سود مرکب برای وام بانکی چطور محاسبه می‌شود؟

برای اینکه بهتر اثر سود مرکب را متوجه شویم باز هم آن را با سود ساده مقایسه می‌کنیم. فرض کنیم یک وام ۳۰ میلیون تومانی با سود ۱۸٪ گرفته ایم.

حالت اول سود ساده

در سود ساده مبلغ سود از همان اول فقط براساس مبلغ وام تعیین می‌گردد و به مدت زمان بازپرداخت بستگی ندارد. برای مثال بالا ۵میلیون و ۴۰۰ هزار تومان مجموع سودی است که باید پرداخت کنیم.

در این حالت چه بخواهیم وام را در ۱۰ سال تسویه کنیم و چه ۶ ماه باید همین مبلغ را پرداخت کنیم. فرض کنیم می‌خواهیم وام بالا را ۳ ساله پرداخت کنیم. کافیست ۵ میلیون و ۴۰۰ هزار تومان را تقسیم بر ۳۶ ماه کنیم که می‌شود:

۳۶ قسط ۹۸۴ هزار تومانی که مجموعاً باید ۳۵ میلیون و ۴۰۰ هزار تومان برگردانیم.

و اگر بخواهیم وام را ۵ ساله بازپرداخت کنیم، مبلغ هر قسط برابر است با:

۶۰ قسط ۵۹۰ هزار تومانی که مجموعاً باید ۳۵ میلیون و ۴۰۰ هزار تومان برگردانیم.

حالت دوم سود مرکب

به بخش هیجان‌انگیز و کمی پیچیده ماجرا می‌رسیم. اینکه سود مرکب چه اثری بر بازپرداخت ما دارد. به مثال خودمون برمی‌گردیم. فرض کنیم ۳۰ میلیون تومان وام بانکی با سود ۱۸٪ گرفته ایم. سود وام های بانکی همگی از روش سود مرکب محاسبه می‌شوند. اصولاً در اغلب فعالیت‌های اقتصادی حتی زمان محاسبه سود سپرده‌های بانکی کوتاه مدت و بلند مدت وقتی از سود صحبت می‌کنیم منظورمان سود مرکب است.

در این حالت سود وام تنها به مبلغ وام وابسته نیست و مدت زمان بازپرداخت وام یکی از عوامل مهم موثر بر میزان سود وام است.

اگر بخواهیم این وام را ۳ ساله بازگردانیم با شرایط زیر مواجه می‌شویم:

۳۶ قسط ۱ میلیون و ۸۴ هزار تومانی که در مجموع باید ۳۹ میلیون و ۴۴ هزار تومان برگردانیم.

حالا اگر بخواهیم همین وام را ۵ ساله برگردانیم، برابر خواهد بود با:

۶۰ قسط ۷۶۱ هزار تومانی که در مجموع باید ۴۵ میلیون و ۷۰۸ هزار تومان برگردانیم.

*تمام محاسبات سود مرکب در این مقاله با کمک ماشین حساب آنلاین سود مرکب وام بانکی کیت ست انجام شده است.

همانطور که می‌بینید با افزایش تعداد اقساط و زمان بازپرداخت میزان سود به شکل تصاعدی بالا می‌رود.

چرا سود مرکب رشد تصاعدی دارد؟

تمام راز سود مرکب در نحوه محاسبه آن نهفته است. کسانی که کمی ریاضیات بدانند با دیدن فرمول سریع متوجه می‌شوند چرا هنگام محاسبه سود مرکب چنین رشدی را شاهد هستیم. فرمول سود مرکب یک تابع نمایی (توانی) است. یعنی برعکس توابع خطی که شیب ثابتی دارند با افزایش زمان رشد تصاعدی پیدا می‌کنند.

این رشد را می‌توان با یک مقایسه ساده فهمید:

تفاوت میزان سود وام ۳ ساله و ۵ ساله در این روش حدوداً ۵ میلیون و ۷۰۰ هزار تومان می‌شود. این در حالی است که اگر زمان بازپرداخت را به ۷ سال افزایش دهیم و آن را با زمان بازپرداخت ۵ ساله (هر دو بازه زمانی دو ساله انتخاب شدند تا درک رشد نمایی بهتر باشد) مقایسه کنیم تفاوت میزان سود برابر خواهد بود با: حدود ۷ میلیون تومان.

احتمالاً شما هم به وام‌های ۱۰ ساله و ۲۰ ساله فکر می‌کنید. میزان سودی که به چنین وام‌هایی تعلق می‌گیرد سرسام‌آور خواهد بود. هرچند که معمولاً وام گیرندگان به آینده فکر نمی‌کنند و برایشان مهم است در لحظه مبلغ هر قسط را کاهش دهند تا ماهانه فشار کمتری را متحمل شوند. غافل از اینکه خود را در یک گرفتاری بلند مدت غرق می‌کنند.

فرمول سود مرکب در محاسبات جدید بانکی به شکل زیر بیان می‌شود:

آیا جریمه دیرکرد پرداخت قسط هم با همین روش محاسبه می‌شود؟

پاسخ به این سؤال خیر است. فرمول بالا براساس سود ماهانه است. یعنی به ازای ماه‌های بازپرداخت سود به وام تعلق می‌گیرد. این در حالی است که وقتی ما در پرداخت اقساط تاخیر داریم و با دیرکرد قسط ماهانه را واریز می‌کنیم، جریمه آن به روش بهره مرکب روزانه محاسبه می‌شود. یعنی چیزی شبیه فرمول بالا فقط به ازای هر روز دیرکرد جریمه به شکل تصاعدی بالا می‌رود.

آیا سود مرکب بد است؟

جدای از مسائل شرعی دین اسلام که هرگونه سود در ازای قرض گرفتن پول را حرام می‌شمارد، سود مرکب یک مثالی برای سود مرکب و بهره ساده اصل اقتصادی بین‌المللی است. برعکس اتفاقی که در گرفتن وام می‌افتد، در دریافت سود سپرده های بلند مدت و کوتاه مدت رخ می‌دهد. یعنی وقتی ما یک سپرده در بانک باز می‌کنیم و قرار است ماهانه به ما ۱۵٪ سود سالانه به ما بپردازد، این سود به شرط آنکه سود ماهانه را برداشت نکنیم به شکل مرکب محاسبه می‌شود. در حقیقت اگر چندین سال به آن سپرده و سودش دست نزنیم، دقیقاً چیزی مثل رشد سود وام این بار به نفع ما اتفاق می‌افتد. در چنین شرایطی می‌توانیم از مزایای سود مرکب بهره‌مند شویم.

کلام آخر

با توجه به نکاتی که گفتیم ارزش محاسبه سود وام پیش از اخذ آن چقدر مهم است. بی‌دقتی در هنگام دریافت وام می‌تواند آثار زیان باری بر خانواده یا یک کسب و کار داشته باشد. همانطور که دیدیم با بالا بردن زمان باز پرداخت وام شاید مبلغ هر قسط کم شود اما مجبوریم سود هنگفتی را به بانک بپردازیم. چیزی که می‌تواند ما را تا مدت‌ها غمگین و بدهکار نگه دارد.

آشنایی با مفهوم سود مرکب/ کسب سود مرکب در بورس چگونه است؟

سود مرکب (Compound Interest)، سودی ترکیب‌شده و مضاعف است. به عبارت دیگر، در محاسبه سود مرکب علاوه بر محاسبه سودی که به اصل سرمایه تعلق می‌گیرد، سودی که به خود سودها تعلق می‌گیرد هم در نظر گرفته می‌شود.

در محاسبه سود ساده، فقط اصل سرمایه و سودی که به آن تعلق می‌گیرد مهم است. مرکب کردن بهره، یعنی دریافت بهره از محل بهره؛ نتیجه این کار، بهره مرکب نامیده می‌شود.

در بهره ساده، بهره دریافتی سرمایه‌گذاری نمی‌شود و بنابراین بهره‌ای که در هر دوره دریافت می‌شود، فقط از محل سرمایه‌گذاری اولیه خواهد بود.

اثر، مرکب کردن در بلندمدت واضح‌تر است و سرمایه رشد زیادی خواهد کرد. برای آنکه تعریف دقیق‌تری ارائه دهم می‌توانم بگویم که سود مرکب یا بهره مرکب به نوعی از سود گفته می‌شود که برای محاسبه آن علاوه بر اصل سرمایه، میزان سود حاصل از بهره‌های جمع شده از دوره‌های قبل سپرده یا وام نیز اضافه می‌گردد.

سود مرکب در مقایسه با انواع سود

سود یا بازدهی پاداشی است که بر روی سرمایه گذاری خود در مدت زمان مشخص به دست می‌آوریم. به عبارت دیگر بهره، مقدار پولی است که شخص وام‌گیرنده به عنوان هزینه قرض به شخص وام دهنده پرداخت می‌کند.

بهره همچنین بازدهی برای سرمایه گذاری بر روی دارایی های مالی مختلف است. با توجه به وجود ابزارهای مالی متعدد در بازار سرمایه، انواع بهره نیز وجود دارد.

از نظر نوع محاسبه بهره، دو نوع بهره ساده و بهره مرکب در بازار وجود دارد. در صورتی که سود، تنها بازدهی بر روی اصل سرمایه باشد، سود یا بهره ساده به آن می‌گویند. در روش سود ساده، بهره دریافتی سرمایه گذاری نمی‌شود و تنها بهره‌ی دریافتی از همان سرمایه اولیه پرداخت می‌شود. اما هنگامی که بازدهی بر روی اصل سرمایه به اضافه سودهای گذشته حساب شود، سود یا بهره مرکب است.

سود مرکب سود ترکیب شده یا مضاعف است. مرکب شدن بهره به این معنی است که بر روی بهره و اصل پول، بهره دریافت شود.

بنابراین سود رشد سریعتر و بیشتری خواهد داشت. در بلند مدت بهره مرکب خود را بیشتر نشان می‌دهد و بازدهی بر اصل مبلغ و سود نسبت به حالت سود ساده، بسیار بیشتر خواهد شد.

به عبارت دیگر سود مرکب اصل سرمایه را به صورت نمایی افزایش می‌دهد. بهره مرکب را بهره بر سود نیز می‌توان دانست.

روش محاسبه سود مرکب

با استفاده از فرمول زیر، می‌توانید سود مرکب را محاسبه کنید.

Compound Interest مثالی برای سود مرکب و بهره ساده = [ P (1+i)^n ]-P

Compound Interest = P [ (1+i)^n-1 ]

i : درصد نرخ بهره

n : تعداد دوره دریافت سود

سود مرکب برابر است با مجموع مبلغ سپرده و سود آن در پایان دوره زمانی مشخص منهای مبلغ سپرده در حال حاضر.

عبارت داخل کروشه، همان مبلغ نهایی است که در پایان دوره دریافت می‌کنید. هرچه n عدد بزرگ‌تری باشد یا دوره دریافت سود بیشتر شود، این سود نیز عدد بزرگ‌تری خواهد شد.

مثلا اگر دوره دریافت سود از یک‌بار پرداخت سالانه به دوبار پرداخت هر شش ماه یک‌بار، تغییر کند، n افزایش می‌یابد و سود مرکب نیز به نسبت بزرگ‌تر می‌شود.

به همین دلیل، اگرچه بازه زمانی هر دو مورد یک سال است اما مقدار بهره مرکب که به یک وام یک‌ میلیون تومانی به صورت سالانه و با نرخ ۱۰% تعلق می‌گیرد کمتر از مقدار بهره مرکبی خواهد بود که به همان وام یک‌ میلیون تومانی ولی با نرخ ۵% و به صورت شش‌ماهه تعلق می‌گیرد.

در واقع، محاسبه سود مرکب به صورت تصاعدی است و این‌گونه سرمایه‌گذاری در بانک سبب افزایش سرعت سود نسبت به سود‌های معمولی می‌شود.

در فرمول بالا اگر دوره دریافت سود سالیانه است باید نرخ بهره هم سالیانه لحاظ شود و اگر دوره دریافت سود ماهیانه است باید نرخ بهره هم ماهیانه لحاظ شود؛ یعنی باید نرخ سود سالیانه را بخش‌ بر دوازده کنید.

محاسبه سود ساده

در روش سود ساده فرض بر این است که سودهای کسب شده در برهه‌های زمانی مختلف به سرمایه اضافه نمی‌شود و بازده سودهای حاصل محاسبه نمی‌شود. در محاسبه سود به روش ساده تنها از اصل سرمایه استفاده می‌شود.

معادله بهره ساده به شکل زیر است:

Simple Interest=P × i × n

i : نرخ بهره سالانه

مثال و توضیح بیشتر درباره سود مرکب

برای درک بهتر موضوع در این قسمت از دو روش محاسبه سود ساده و سود مرکب بازدهی یک سرمایه گذاری را محاسبه می‌کنم.

فرض کنید که شما 100 میلیون تومان را در حساب بانکی خود سپرده گذاری کرده‌اید. شما پول خود را برای سه سال با سود سالانه ۲۰ درصد سرمایه گذاری کرده‌اید. بازدهی کسب شده برای شمادر بازه سه ساله برابر است با:

۱۰۰۰۰۰۰۰۰ × ۲۰% × ۳ = سود = ۲۰۰۰۰۰۰۰

در سال دوم بازدهی فرد برابر خواهد شد با:

سود =۱۲۰۰۰۰۰۰۰ [ (۱+۲۰٪)-۱] =۲۴۰۰۰۰۰۰

سود =۱۴۴۰۰۰۰۰۰ [ (۱+۲۰٪)-۱]=۲۸۸۰۰۰۰۰

که در مجموع کل سود فرد در این سه سال برابر خواهد بود با:

مجموع سود = ۲۰۰۰۰۰۰۰ + ۲۴۰۰۰۰۰۰+۲۸۸۰۰۰۰۰ = ۷۲۸۰۰۰۰۰

یا می توان محاسبه بازدهی را به صورت زیر انجام داد:

سود =۱۰۰۰۰۰۰۰۰ [ (۱+۲۰٪)^۳-۱ ]= ۷۲۸۰۰۰۰۰

چرا سود مرکب اهمیت دارد؟

استفاده از این سود، سرمایه ما را نسبت به سود ساده، چندین برابر می‌کند. نکته مهم این است که تنها در صورت وجود درآمد پایدار می‌توانیم از بهره مرکب استفاده کرده و سرمایه خود را چندین برابر افزایش دهیم. به عبارت دیگر، برای درآمدهای مقطعی کاربردی ندارد. دو اصل در سود مرکب مهم هستند؛ نخست آنکه به اصل و سود سرمایه‌گذاری خود دست نزنید و به آن اجازه رشد بدهید و نکته دوم داشتن صبر است.

سود مرکب در بورس

سود مرکب در بورس و بازارهای دیگر حاصل این است که شما سرمایه در گردش خود را بزرگ‌تر می‌کنید و هرچه این سرمایه در گردش بزرگ‌تر مثالی برای سود مرکب و بهره ساده شود درواقع سود شما بیشتر می‌شود.

یک مثال ساده از سود مرکب در بورس این است که اگر شما بدانید که سرمایه‌گذاری در بازاری ۲۰ درصد سود خواهد داشت و این سود فرضاً یک سود قطعی است. آیا با ۱۰ میلیون تومان بیشتر سود خواهید کرد یا با ۲۰ میلیون تومان؟ مسلماً جواب ساده و روشن است.

در محاسبه سود مرکب نیز همین اتفاق ساده رخ می‌دهد؛ یعنی شما در هر دوره برداشت (پرداخت) سود، اگر آن را به اصل پول خود اضافه کنید، سود دوره بعدی بیشتر خواهد شد و این روند تصاعدی یا گلوله برفی بزرگ و بزرگ‌تر می‌شود و درنهایت به عددی می‌رسد که می‌توان آن را معجزه سود مرکب در بورس (هر بازار دیگر) نامید؛ اما معجزه‌ای شدنی و امکان‌پذیر به شرطی که به قدرت زمان ایمان بیاورید و بگذارید پول شما خودش برای شما کار کند و این زمان باشد که با سود مرکب در بورس برای شما ثروت ایجاد می‌کند.