دنباله فيبوناچي و عدد طلايي

دسته بندی فایل: گوناگون
کلمات کلیدی مطلب:آشنایی با خواص دنباله فيبوناچي و عدد طلايي
نمونه ی دیگری از مجموعه فایل ها با عنوان آشنایی با خواص دنباله فيبوناچي و عدد طلايي آماده دریافت می باشد برای دانلود به ادامه مطلب مراجعه نمایید.
دریافت فایل

دنباله فیبوناچی

توالی یا جانشینی فیبوناچی ، طبق ریاضیات ، ترتیب اعداد کل است که به طور کلی از 0 و 1 شروع می شود و هر عدد بعدی مجموع دو عدد قبلی را نشان می دهد. از نظر معمایی ، این توالی در چندین پدیده طبیعی وجود دارد.

این سفارش به نام ریاضیدان ایتالیایی لئوناردو دو پیزا معروف به فیبوناچی (از ایتالیایی) نامگذاری شد فیلیوس بوناچی) این او بود که در سال 1202 ، از این جانشینی به بعد ، پیشرفت جمعیت خرگوشها را توصیف کرد. توالی فیبوناچی بی نهایت است و با: 0 ، 1 ، 1 ، 2 ، 3 ، 5 ، 8 ، 13 ، 21 ، 34 ، 55 ، دنباله فيبوناچي و عدد طلايي 89 ، 144 ، 233 ، 377 ، 610 ، 987 ، 1597 ، 2584 ، s مطابقت دارد:

روابط

با تبدیل این اعداد به مربع و چینش هندسی ، یک مارپیچ کامل تشکیل می شود. این شکل را می توان در بسیاری از موجودات زنده در طبیعت نیز مشاهده کرد.

"نسبت طلایی" رابطه دیگری است که می تواند به دنباله فیبوناچی نسبت داده شود. به دلیل راحتی در چشم ، در معماری ، هنر و طراحی بسیار مورد استفاده قرار می گیرد.

مقدار دنباله فیبوناچی 1.618 است و با پیشرفت توالی ، تقسیم بین یک عدد و سلف آن به این اصطلاح نزدیکتر می شود.

فرمول

جانشینی فیبوناچی بصورت بازگشتی ، در ریاضیات ، با فرمول زیر (با در نظر گرفتن اصطلاح اول) نشان داده می شود F₁ = 1): F_نه = F_n-1+ F_n-2 و مقادیر اولیه مربوط به: F₁ = 1 F₂ = 1.

با استفاده از کاربردهای تجزیه و تحلیل بازار مالی ، تئوری بازی و علوم دنباله فيبوناچي و عدد طلايي کامپیوتر ، توالی فیبوناچی همچنین در پیکربندی های بیولوژیکی ، مانند چیدمان شاخه های درختان و برگ ها بر روی یک ساقه ، در چینش مخروط آناناس و کنگر فرنگی ، تجسم می یابد. .

چند نمونه طبیعی

آفتابگردان

هسته آن پر از دانه هایی است که در یک مجموعه دوتایی مارپیچ قرار گرفته اند. به طور کلی ، 21 عدد در جهت عقربه های ساعت و 34 مورد دیگر در خلاف جهت عقربه های ساعت وجود دارد.

مخروط کاج

دانه های آن پس از رشد ، با هشت عدد در جهت عقربه های ساعت و 13 عدد دیگر در خلاف جهت عقربه های ساعت به صورت مارپیچ تشکیل می شود.

پوسته حلزون

هر قسمت جدید پسوند مجموع دو پیشینی را دارد.

طبق برخی ادعاها ، تقسیم قد (با اندازه متوسط) فرد بر فاصله بین ناف و سر ، به عدد تقریبی 1.618 منجر می شود.

دست ها

تمام انگشتان دستان ما (به جز انگشت شست) مفصل هایی دارند که رابطه آنها از طریق نسبت طلایی صورت می گیرد.

پايان نامه خواص دنباله فيبوناچي و عدد طلايي

فایل ورد پايان نامه خواص دنباله فيبوناچي و عدد طلايي کاملا فرمت بندی و تنظیم شده در استاندارد دانشگاه و مراکز دولتی می باشد.

توجه : توضیحات زیر بخشی از متن اصلی می باشد که بدون قالب و فرمت بندی کپی شده است

بخشی از فهرست مطالب پايان نامه خواص دنباله فيبوناچي و عدد طلايي

1-1- تاریخچه
2-1- دنباله فیبوناچی چیست :‌
3-1- عدد طلایی چیست :‌
4-1- تعریف عدد طلایی :
5-1- ارتباط عدد طلایی با دنباله فیبوناچی :‌
6-1- نمایش کسری عدد طلایی :
7-1- عدد طلایی , گنگ یا گویا :
8-1- دواثبات برای رابطه عمومی جملات دنباله فیبوناچی
اثبات اول ( ساده ترین روش مطرح شده ) :‌
اثبات دوم ( با استفاده از ماتریسها ) :
اعداد فیبوناچی و موجودات زنده :‌
1-2- خرگوش‌های فیبوناچی
گاوهای دودنی
2-2- زنبورهای عسل و شجره خانوادگی
3-2- اعداد فیبوناچی و اندام انسانها :
4-2- ستاره دریایی
5-2- مستطیل‌های فیبوناچی و مارپیچ های صدفی
اعداد فیبوناچی و گیاهان
1-3- مقدمه
2-3- مخروط های کاج
اعداد فیبوناچی مخروطها:
3-3- آناناس
4-3- موز و سیب :
5-3- کلم و کلم بروکلی
6-3- بخش فوقانی گلهای تخمدار
7-3- ترتیب بندی در شاخه ها
8-3- نخل خرما
9-3- ترتیب بندی های برگ
برگها در هر چرخش
طرز قرارگیری برگ در بعضی از گیاهان معمول
گیاهان 8 برگ :
10-3- ترتیب بندیها در گلبرگ ها
گلبرگ های موجود بر روی گل ها
سوسن
– گل های دارای چهار گلبرگ:
– گلهای دارای 55 , 89 گلبرگ:
1-4- شمارش فیبوناچی و عدد طلایی
چرا طیبعت تمایل به استفاده از phi در بسیاری از گیاهان دارد؟
2-4- بسته بندی‌‌ها
3-4- مریستم و الگوهای رشد مارپیچی
4-4- عدد طلائی (phi) در طبیعت
تناسب ـ نسبت طلائی
معرفی کتاب :
کتابهای نوشته شده در توسط Truai Garlancl :
مقالات :
برنامه نویسی
منابع :

بخشی از منابع و مراجع پايان نامه خواص دنباله فيبوناچي و عدد طلايي

ابراهیمی , محمد مهدی , ضروریات جبری , جلد 2 ( ماتریس ها و فضاهای برداری ) , نوشته
تی . اس . پلاس وای . اف . رابرتسون ( ترجمه ) , چاپ اول , فروردین 1380 , چاپ هفتم ,
دی 1382

Marhematical Mystery Tour by Mard Whal ,

Fascinating Fibonaccis by Trudi Hammel Garland

Fibonacci Fun : Fascinating Activities with Intriguing Numbers Trudi

Mathematical Models H M Cundy and A P Rollett

On Growth and From by D’Arcy Wentworth Thompson , Dover ,
( Complete Revised edition 1992)

1-1- تاریخچه

لئوناردو دا پیزا یا به عبارت مشهورتر فیبوناچی یکی از بزرگترین ریاضی دانان اروپا در سال 1175 در شهر پیزا متولد شد . وی به علت حرفه پدریش که بازرگانی بود به کشورهای بسیاری از جمله مصر و سوریه و ; مسافرت نمود . فیبوناچی در سال 1200 به زادگاه خود یعنی شهر پیزا در ایتالیا مراجعت نمود

معرفی سیستم اعداد اعشاری به عنوان جایگزینی بسیار کارآمدتر به جای سیستم اعداد رومی که استفاده از آن زمان امپراطوری روم رایج بوده است از جمله مهمترین کارهای این ریاضیدان بزرگ در طول حیاتش بوده است . وی در ابتدای اولین بخش از کتاب خود به نام Liber abci در مورد این سیستم چنین می گوید

( نه رقم هندی وجود دارد : 1 2 3 4 5 6 7 8 9 که به وسیله آنها و همچنین‌علامت . که در عربی صفر نامیده می شود می توان هر عددی را به شیوه هایی که توضیح داده خواهد شد نوشت )

موارد قابل توجه زیادی در مورد زندگی این ریاضیدان وجود دارد که شاید در مختصر نوشته ای در آینده با نام معرفی فیبوناچی به آنها اشاره خواهیم نمود

اما آنچه در اینجا موردبحث قرار خواهد گرفت دنباله ای از اعداد می باشد که همه ما در دوران دبیرستان با این دنباله به عنوان یکی از مصادیق دنباله های بازگشتی آشنا شده‌ایم . هرچند که این دنباله در نگاه اول بسیار ساده و معمولی دنباله فيبوناچي و عدد طلايي به نظر می رسد ولی روابط و نکات قابل توجهی در مورد این دنباله ساده وجود دارد که سالیان است
توجه بسیاری از متخصصین نظریه اعداد را به خود معطوف کرده و آنها را به شگفتی واداشته است

2-1- دنباله فیبوناچی چیست :‌

در دوران حیات فیبوناچی مسابقات ریاضی در اروپا بسیار مرسوم بود . در یکی از همین مسابقات که در سال 1225 در شهر پیزا توسط امپراطور فردریک دوم برگزار شده بود مسئله زیر مطرح شد

فرض کنیم خرگوشهایی وجود دارند که هر جفت ( یک نر و یک ماده ) از آنها که به سن یک ماهگی رسیده باشند به ازا هر ماه که از زندگیشان سپری شود یک جفت خرگوش متولد می کنند که آنها هم از همین قاعده پیروی می کنند . حال اگر فرض کنیم این خرگوشها هرگز نمی میرند و در آغاز یک جفت از این نوع خرگوش ها در اختیار داشته باشیم که به تازگی متولد شده اند حساب کنید پس از n ماه چند جفت از این نوع خرگوش خواهیم داشت

فرض کنیم X_n تعداد جفت خرگوش پس از n ماه باشد , می دانیم که X₂=1,X₁=1 , تعداد جفت خرگوشها در ماه n+1 ام برابر خواهد بود با حاصلجمع تعدادجفت خرگوشهایی که در این ماه متولد می شوند با تعداد جفت خرگوشهای موجود (X_n ) . اما چون هر جفت خرگوش که از دو ماه قبل موجود بوده هم اکنون حداقل دوماه سن خواهند داشت و به سن زاد و ولد رسیده اند تعداد جفت خرگوشهای متولد شده برابر خواهدبود با X_n-1 پس خواهیم داشت

که اگر از قواعد مذکور پیروی کنیم به دنباله زیر خواهیم رسید که به دنباله فیبوناچی مشهور است

فیبوناچی با حل این مسئله از راه حل فوق دنباله حاصل را به جهان ریاضیات معرفی کرد که خواص شگفت انگیز و کاربردهای فراوان آن تا به امروز نه تنها نظر ریاضیدانان بلکه دانشمندان بسیاری از رشته های دیگر را به خود جلب کرده است

3-1- عدد طلایی چیست :‌

پیشینه توجه به این عدد نه به زمان فیبوناچی بلکه به زمانهای بسیار دورتر می رسد. اقلیدس در قضیه
سی ام جلد ششم از سیزده جلد کتاب مشهور خود که در آنها هندسه اقلیدسی را بنا نهاد این نسبت را مطرح کرده است

لوکا پیشولی (Luca Pacioli ) در سال 1509 پس از میلاد کتابی با عنوان نسبت الهی
(The Divine Propotion ) تالیف کرد . وی در آن دنباله فيبوناچي و عدد طلايي نقاشی هایی از لئوناردو داوینچی آورده است که پنج جسم افلاطونی را نمایش می دهند و در آنها نیز به این نسبت اشاره شده است

در این نوشته نماد یونانی (Phi ) را برای عدد طلایی برمی گزینیم . هرچند بعضی از ریاضیدانان از نمادهای دیگری مانند ( Tau ) نیز برای نمایش این عدد استفاده نموده اند

4-1- تعریف عدد طلایی :

عدد طلایی عددی مثبت است که اگر به آن یک واحد اضافه کنیم به مربع آن خواهیم رسید و یا عددی که یک واحد از معکوس خود بزرگتر باشد را عدد طلایی می نامیم. در اثر هر دو تعریف به یک معادله درجه دوم دست خواهیم یافت

اگر طرفین را در Phi ضرب کنیم خواهیم داشت :‌ Phi 2 = Phi +

عبارت فوق از ساده ترین تعاریف برای عدد طلایی می باشد

برای پیداکردن مقدار این عدد کافی است معادله درجه دوم (1) را حل کنیم . می توان این معادله را از روش عمومی حل معادلات درجه دوم به آسانی حل کرد و یا از راه حل زیر برای آن استفاده کرد :‌

از آنجا که عدد موردنظرما مثبت است‌عدد طلایی برابر خواهد بود با , اما ریشه دیگر معادله نیز از بابت کاربرد برای ما حائز اهمیت می باشد که آن را با نمایش می دهیم

اگر نگاه دقیق تری به دو ریشه حاصل از معادله داشته باشیم به روابط جالبی بین آنها دست خواهیم یافت که به راحتی قابل اثبات می باشند , به عنوان مثال :‌

5-1- ارتباط عدد طلایی با دنباله فیبوناچی :‌

روشهای متفاوتی برای بیان رابطه بین عدد طلایی و دنباله فیبوناچی وجود دارد که ما در اینجا به چند نمونه اشاره می کنیم

1- اگر معادله خط را در نظر بگیریم چون Phi که به عنوان شیب این خط در نظر گرفته شده عددی است گنگ و نمی توان آن را به صورت حاصل تقسیم دو عدد صحیح نوشت خط از هیچ نقطه ای با مختصات (i , j ) به طوریکه j ,i هر دو عدد صحیح باشند نخواهد گذشت به استثنا نقطه مبدا با مختصات (0,0 ) که در تمام خطوط با معادلی کلی y=ax مشترک می باشد

حال اگر نمودار این خط را رسم کنیم نکته ای که قابل توجه می باشد نزدیکترین نقاط با مختصات ( i , j ) به طوریکه
i , j هر دو صحیح باشند به این خط است . در حال حاضر فرض بر آن است که این خط برای تعریف شده هرچند که این مطلب تاثیر چندانی روی استدلال نخواهد داشت اما چون بحث را بر روی اعداد مثبت آغاز کرده ایم اینطور فرض می نمائیم

برای یافتن نقاط نزدیک به این خط با مختصات صحیح از نقطه ( o , o ) خط را مورد بررسی قرار می دهیم . اگر از نقطه ابتدایی که همانطور که در فوق آمد استثنا میباشد صرف نظر نمائیم . به نظر می رسد نزدیکترین نقطه (1,1 ) می باشند . نقطه بعدی( 2,1) است . پس از آن نقطه (3,2 ) به خط نزدیک می باشد و به ترتیب زیر ادامه خواهدیافت

(1,l), (2,l),(3,2),(5,2) , (8 ,5) , (13,دنباله فيبوناچي و عدد طلايي دنباله فيبوناچي و عدد طلايي 8) , (21,13) , (34,21) , (55,34),…

صحت مطالب فوق به راحتی قابل بررسی می باشد, باکمی دقت در مختصات این نقاط در خواهیم یافت که این مختصات از الگوی دنباله فیبوناچی پیروی می کند . این نقاط را نقاط فیبوناچی می نمامیم

2- دومین مطلبی که در زمینه ارتباط Phi با دنباله فیبوناچی قابل ذکر است به این قرار است :‌

به نظر می رسد که دنباله همگرا به عددی بین 6/1 تا 7/1 می باشد اما هیچکدام از این مطالب دلیل همگرایی نمی باشد . باید حد دنباله محاسبه شود :‌

براساس ضابطه دنباله فیبوناچی اگر n را به اندازه کافی بزرگ درنظر بگیریم میتوان نوشت :‌

حال اگر حد دنباله را هنگامی که n به بینهایت میل می کند L فرض کنیم خواهیم‌داشت

و با حل معادله فوق به حد دنباله دست خواهیم یافت . توجه کنید که معادله حاصل در واقع همان معادله ایست که در ابتدا برای بدست آوردن عدد طلایی مطرح شد

با حل این معادله خواهیم داشت

چون می دانیم که حد دنباله مثبت است ( چون تمام جملات دنباله مثبت هستند) پس حد دنباله ساخته شده برابر با عدد طلایی می باشد . L=Phi

البته مطلب فوق مختص سری فیبوناچی نیست . برای هر دنباله ای که از قاعده فیبوناچی پیروی کند , با هر مقدار دلخواه برای دو جمله ابتدایی , صادق است

6-1- نمایش کسری عدد طلایی :

اگر تعاریف مطروحه برای عدد طلایی را به خاطر بیاورید حتماً رابطه زیر را نیز به یاد خواهید آورد . Phi = 1 + 1/Phi

این رابطه بدین معناست که ما مجاز به جایگزینی Phi با 1+1/Phi در روابط میباشیم . حال اگر در خود رابطه این جایگزینی را اعمال نمائیم خواهیم داشت

Phi = 1+1/Phi = 1+1/(1+1/Phi)=1+1/(1+1/(1+1/Phi))= …

در نتیجه Phi را می توان به صورت یک کسر نامتناهی به شکل زیر نوشت :‌

متوقف کردن این کسر در مراحل گوناگون ما را به تقریبهایی برای Phi میرساند که هرچه توقف درمرتبه بالاتری صورت پذیرد تقریب به Phi نزدیکتر خواهدبود . به چند نمونه از این تقریبها دقت کنید :‌

Phi =1,Phi=1+1/1=2,Phi=1+1/(1+1/1)=3/2 , Phi=1+1/(1+1/(1+1/1))=5/

مشاهده می کنیم که اولین عدد ( 1 ) برابر است با Fib (2) /Fib(1) همانطور که از رابطه نمایش کسری Phi مشخص است کافی است به معکوس این عدد یک واحد بیافزاییم تا تقریب بعدی به دست آید

خواهیم دید که این اعداد در حقیقت جملات دنباله Phi(دنباله فيبوناچي و عدد طلايي n) میباشنی که همانطور که در قبل نشان داده شد در بی نهایت به Phi میل می کنند

7-1- عدد طلایی , گنگ یا گویا :

با کمی دقت به آسانی درخواهیم یافت عدد طلایی یکی از اعضا مجموعه اعداد گنگ می باشد اما برای اثبات این ادعا استدلال جالب توجهی وجود دارد که بیان آن خالی از لطف نیست

برای اثبات درنظر داریم از برهان خلف استفاده کنیم . در ابتدا فرض کنیم Phi یک عدد گنگ نیست
( خلاف حکم ) , اگر این فرض را قبول کنیم باید پذیرفت که عدد Phi گویاست و لذا می توان آن را به صورت کسر دو عدد صحیح نمایش داد . فرض کنیم کسر موردنظر A/B باشد , می توان این کسر را تا آنجا ساده کرد که صورت و مخرج آن نسبت به هم اول باشند ( هیچ عامل اول مشترکی نداشته باشند ) , پس داریم

به طوریکه p , q نسبت به هم اول می باشند , حال به تعریف Phi رجوع می کنیم :‌

می دانیم که چون q در مخرج کسر دنباله فيبوناچي و عدد طلايي قرار گرفته پس , پس با ضرب طرفین (*) در q 2 خواهیم داشت

همانطور که ملاحظه می کنید سمت چپ معادله دارای عامل p می باشد پس p عامل q 2 هم خواهد بود , اما چون p,q نسبت به هم اول هستند پس p=1 خواهد بود

از طرف دیگر از رابطه (**) خواهیم داشت

باز هم مانند استدلال قبل چون q از عوامل سمت راست معادله است پس باید عامل سمت چپ معادله هم باشد پس q عامل P 2 است و چون p,q نسبت به هم اول هستند q=1 خواهد شد , در نتیجه

ولی عدد یک در تعریف Phi صدق نمی کند , این تناقض مبین باطل بودن فرض است , یعنی Phi گویا نیست پس ثابت شد که Phi گنگ است

8-1- دواثبات برای رابطه عمومی جملات دنباله فیبوناچی

در اینجا دو اثبات برای رابطه عمومی اعداد طلایی را مطرح می کنیم . روش اول ساده ترین اثباتی است که تاکنون برای این رابطه مطرح شده و در روش دوم با استفاده از ماتریس ها به اثباتی برای این رابطه دست خواهیم یافت

اثبات اول ( ساده ترین روش مطرح شده ) :‌

از آنچه در مطلب خواص دنباله فیبوناچی و عدد طلایی آمده داریم

Phi n = Fib(n-1)+Fib(n)Phi

(-Phi) n = Fib(n-1)-Fib(n)Phi

از تفریق دو رابطه (1) و (2) خواهیم داشت :‌

حال برای بدست آوردن رابطه مطلوب از رابطه حاصل شده از رابطه : Phi = 1/Phi

که در قبل درستی آن نشان داده شده استفاده می کنیم , خواهیم داشت

همانطور که ملاحظه کردید به سادگی با استفاده از روابطی که در گذشته اثبات نمودیم رابطه عمومی دنباله اعداد فیبوناچی اثبات شد

آشنایی با خواص دنباله فيبوناچي و عدد طلايي|پی اُ

دسته بندی فایل: دنباله فيبوناچي و عدد طلايي گوناگون
کلمات کلیدی مطلب:آشنایی با خواص دنباله فيبوناچي و عدد طلايي
نمونه ی دیگری از مجموعه فایل ها با عنوان آشنایی با خواص دنباله فيبوناچي و عدد طلايي آماده دریافت می باشد برای دانلود به ادامه مطلب مراجعه نمایید.
دریافت فایل

لئوناردو دا پيزا يا به عبارت مشهورتر فيبوناچي يكي از بزرگترين رياضي دانان اروپا در سال 1175 در شهر پيزا متولد شد . وي به علت حرفه پدريش كه بازرگاني بود به كشورهاي بسياري از جمله مصر و سوريه و . مسافرت نمود . فيبوناچي در سال 1200 به زادگاه خود يعني شهر پيزا در ايتاليا مراجعت نمود.

معرفي سيستم اعداد اعشاري به عنوان جايگزيني بسيار كارآمدتر به جاي سيستم اعداد رومي كه استفاده از آن زمان امپراطوري روم رايج بوده است از جمله مهمترين كارهاي اين رياضيدان بزرگ در طول حياتش بوده است . وي در ابتداي اولين بخش از كتاب خود به نام Liber abci در مورد اين سيستم چنين مي گويد :

« نه رقم هندي وجود دارد : 1 2 3 4 5 6 7 8 9 كه به وسيله آنها و همچنين‌علامت . كه در عربي صفر ناميده مي شود مي توان هر عددي را به شيوه هايي كه توضيح داده خواهد شد نوشت » .

موارد قابل توجه زيادي در مورد زندگي اين رياضيدان وجود دارد كه شايد در مختصر نوشته اي در آينده با نام معرفي فيبوناچي به آنها اشاره خواهيم نمود.

اما آنچه در اينجا موردبحث قرار خواهد گرفت دنباله اي از اعداد مي باشد كه همه ما در دوران دبيرستان با اين دنباله به عنوان يكي از مصاديق دنباله هاي بازگشتي آشنا شده‌ايم . هرچند كه اين دنباله در نگاه اول بسيار ساده و معمولي به نظر مي رسد ولي روابط و نكات قابل توجهي در مورد اين دنباله ساده وجود دارد كه ساليان است

توجه بسياري از متخصصين نظريه اعداد را به خود معطوف كرده و آنها را به شگفتي واداشته است .

2-1- دنباله فيبوناچي چيست :‌

در دوران حيات فيبوناچي مسابقات رياضي در اروپا بسيار مرسوم بود . در يكي از همين دنباله فيبوناچي و عدد طلايي مسابقات كه در سال 1225 در شهر پيزا توسط امپراطور فردريك دوم برگزار شده بود مسئله زير مطرح شد .

فرض كنيم خرگوشهايي وجود دارند كه هر جفت ( يك نر و يك ماده ) از آنها كه به سن يك ماهگي رسيده باشند به ازاء هر ماه كه از زندگيشان سپري شود يك جفت خرگوش متولد مي كنند كه آنها هم از همين قاعده پيروي مي كنند . حال اگر فرض كنيم اين خرگوشها هرگز نمي ميرند و در آغاز يك جفت از اين نوع خرگوش ها در اختيار داشته باشيم كه به تازگي متولد شده اند حساب كنيد پس از n ماه چند جفت از اين نوع خرگوش خواهيم داشت .

فرض كنيم Xn تعداد جفت خرگوش پس از n ماه باشد ، مي دانيم كه X2=1,X1=1 ، تعداد جفت خرگوشها در ماه n+1 ام برابر خواهد بود با حاصلجمع تعدادجفت خرگوشهايي كه در اين ماه متولد مي شوند با تعداد جفت خرگوشهاي موجود (Xn ) . اما چون هر جفت خرگوش كه از دو ماه قبل موجود بوده هم اكنون حداقل دوماه سن خواهند داشت و به سن زاد و ولد رسيده اند تعداد جفت خرگوشهاي متولد شده برابر خواهدبود با Xn-1 پس خواهيم داشت :

X1 = 1 , X2=1 , Xn+1=Xn+Xn-1

كه اگر از قواعد مذكور پيروي كنيم به دنباله زير خواهيم رسيد كه به دنباله فيبوناچي مشهور است .

فيبوناچي با حل اين مسئله از راه حل فوق دنباله حاصل را به جهان رياضيات معرفي كرد كه خواص شگفت انگيز و كاربردهاي فراوان آن تا به امروز نه تنها نظر رياضيدانان بلكه دانشمندان بسياري از رشته هاي ديگر را به خود جلب كرده است .

3-1- عدد طلايي چيست :‌

پيشينه توجه به اين عدد نه به زمان فيبوناچي بلكه به زمانهاي بسيار دورتر مي رسد. اقليدس در قضيه

سي ام جلد ششم از سيزده جلد كتاب مشهور خود كه در آنها هندسه اقليدسي را بنا نهاد اين نسبت را مطرح كرده است .

لوكا پيشولي (Luca Pacioli ) در سال 1509 پس از ميلاد كتابي با عنوان نسبت الهي

(The Divine Propotion ) تاليف كرد . وي در آن نقاشي هايي از لئوناردو داوينچي آورده است كه پنج جسم افلاطوني را نمايش مي دهند و در آنها نيز به اين نسبت اشاره شده است .

در اين نوشته نماد يوناني (Phi ) Ф را براي عدد طلايي برمي گزينيم . هرچند بعضي از رياضيدانان از نمادهاي ديگري مانند ( Tau ) نيز براي نمايش اين عدد استفاده نموده اند .

4-1- تعريف عدد طلايي :

عدد طلايي عددي مثبت است كه اگر به آن يك واحد اضافه كنيم به مربع آن خواهيم رسيد و يا عددي كه يك واحد از معكوس خود بزرگتر باشد را عدد طلايي مي ناميم. در اثر هر دو تعريف به يك معادله درجه دوم دست خواهيم يافت .

اگر طرفين را در Phi ضرب كنيم خواهيم داشت :‌ Phi2 = Phi +1

عبارت فوق از ساده ترين تعاريف براي عدد طلايي مي باشد .

براي پيداكردن مقدار اين عدد كافي است معادله درجه دوم (1) را حل كنيم . مي توان اين معادله را از روش عمومي حل معادلات درجه دوم به آساني حل كرد و يا از راه حل زير براي آن استفاده كرد :‌

از آنجا كه عدد موردنظرما مثبت است‌عدد طلايي برابر خواهد بود با ، اما ريشه ديگر معادله نيز از بابت كاربرد براي ما حائز اهميت مي باشد كه آن را با نمايش مي دهيم .

اگر نگاه دقيق تري به دو ريشه حاصل از معادله داشته باشيم به روابط جالبي بين آنها دست خواهيم يافت كه به راحتي قابل اثبات مي باشند ، به عنوان مثال :‌

5-1- ارتباط عدد طلايي با دنباله فيبوناچي :‌

روشهاي متفاوتي براي بيان رابطه بين عدد طلايي و دنباله فيبوناچي وجود دارد كه ما در اينجا به چند نمونه اشاره مي كنيم .

1- اگر معادله خط را در نظر بگيريم چون Phi كه به عنوان شيب اين خط در نظر گرفته شده عددي است گنگ و نمي توان آن را به صورت حاصل تقسيم دو عدد صحيح نوشت خط از هيچ نقطه اي با مختصات (i , j ) به طوريكه j ,i هر دو عدد صحيح باشند نخواهد گذشت به استثنا نقطه مبداء با مختصات (0,0 ) كه در تمام خطوط با معادلي كلي y=ax مشترك مي باشد.

حال اگر نمودار اين خط را رسم كنيم نكته اي كه قابل توجه مي باشد نزديكترين نقاط با مختصات ( i , j ) به طوريكه

i , j هر دو صحيح باشند به اين خط است . در حال حاضر فرض بر آن است كه اين خط براي تعريف شده هرچند كه اين مطلب تاثير چنداني روي استدلال نخواهد داشت اما چون بحث را بر روي اعداد مثبت آغاز كرده ايم اينطور فرض مي نمائيم .

براي يافتن نقاط نزديك به اين خط با مختصات صحيح از نقطه ( o , o ) خط را مورد بررسي قرار مي دهيم . اگر از نقطه ابتدايي كه همانطور كه در فوق آمد استثنا ميباشد صرف نظر نمائيم . به نظر مي رسد نزديكترين نقطه (1,1 ) مي باشند . نقطه بعدي( 2,1) است . پس از آن نقطه (3,2 ) به خط نزديك مي باشد و به ترتيب زير ادامه خواهديافت .

(1,l), (2,l),(3,2),(5,2) , (8 ,5) , (13,8) , (21,13) , (34,21) , (55,34),…

صحت مطالب فوق به راحتي قابل بررسي مي باشد، باكمي دقت در مختصات اين نقاط در خواهيم يافت كه اين مختصات از الگوي دنباله فيبوناچي پيروي مي كند . اين نقاط را نقاط فيبوناچي مي نماميم .

تحقیق در مورد خواص دنباله فیبوناچی و عدد طلایی 20 ص

بخشی از متن تحقیق در مورد خواص دنباله فیبوناچی و عدد طلایی 20 ص :

لینک دانلود و خرید پایین توضیحات
دسته بندی : وورد
نوع فایل : word (..doc) ( قابل ویرایش و آماده پرینت )
تعداد صفحه : 70 صفحه

قسمتی از متن word (..doc) :

‏2
‏خواص ‏دنبال‏ه فیبوناچی و عدد طلایی
‏1-1- ‏تاریخچه
‏لئوناردو دا‏ ‏پیزا یا به عبارت مشهورتر فیبوناچی یکی از بزرگترین ریاضی دانان اروپا در سال 1175 در شهر پیزا متولد شد . وی به علت حرفه پدریش که بازرگانی بود به کشورهای بسیاری از جمله مصر و سوریه و . مسافرت نمود . فیبوناچی در سال 1200 به زادگاه خود یعنی شهر پیزا در ایتالیا مراجعت نمود.
‏ معرفی سیستم اعداد اعشاری به عنوان جایگزینی بسیار کارآمدتر به جای سیستم اعداد رومی که استفاده از آن زمان امپراطوری روم رایج بوده است از جمله مهمترین کارهای این ریاضیدان بزرگ در طول حیاتش بوده است . وی در ابتدای اولین بخش از کتاب خود به نام Liber abci‏ در مور‏د‏ این سیستم چنین می گوید :
‏ ‏(‏ ‏نه رقم هندی وجود دارد : 1 2 3 4 5 6 7 8 9 که به وسیله آنها و همچنین‏‌‏علامت . که در عربی صفر نامیده می شود می توان هر عددی را به شیوه هایی که توضیح داده خواهد شد نوشت‏ ‏)‏ .
‏ موارد قابل توجه زیادی در مورد زندگی این ریاضیدان وجود دارد که شاید در مختصر نوشته ای در آینده با نام معرفی فیبوناچی به آنها اشاره خواهیم نمود.
‏ اما آنچه در اینجا موردبحث قرار خواهد گرفت دنباله ای از اعداد می باشد که همه ما در دوران دبیرستان با این دنباله به عنوان یکی از مصادیق دنباله های بازگشتی آشنا شده‏‌‏ایم . هرچند که این دنباله در نگاه اول بسیار ساده و معمولی به نظر می رسد ولی روابط و نکات قابل توجهی در مورد این دنباله ساده وجود دارد که سالیان است ‏
‏توجه بسیاری از متخصصین نظریه اعداد را به خود معطوف کرده و آنها را به شگفتی واداشته‏ است‏ .
‏2-1- ‏دنباله فیبوناچی چیست :‏‌
‏ در دوران ‏حیات‏ فیبوناچی مسابقات ریاضی در اروپا بسیار مرسوم بود . در یکی از همین مسابقات که در سال 1225 در شهر پیزا توسط امپراطور فردریک دوم برگزار شده بود مسئله زیر مطرح شد .
‏ فرض کنیم خرگوشهایی وجود دارند که هر جفت ( یک نر و یک ماده ) از آنها که به سن یک ماهگی رسیده باشند به ازا هر ماه که از زندگیشان سپری شود یک جفت خرگوش متولد می کنند که آنها هم از همین قاعده پیروی می کنند . حال اگر فرض کنیم این خرگوشها هرگز نمی میرند و در آغاز یک جفت از این نوع خرگوش ها در اختیار داشته باشیم که به تازگی متولد شده اند حساب کنید پس از

دنباله فيبوناچي و عدد طلايي

فرمت فایل: word (قابل ویرایش)

خواص دنباله فیبوناچی و عدد طلایی

اثبات دوم (با استفاده از ماتریسها):

اعداد فیبوناچی و موجودات زنده:

اعداد فیبوناچی و گیاهان

برگها در هر چرخش

گلبرگ های موجود بر روی گل ها

- گل های دارای چهار گلبرگ:

- گلهای دارای 55، 89 گلبرگ:

چرا طیبعت تمایل به استفاده از phi در بسیاری از گیاهان دارد؟

تناسب نسبت طلائی

خواص دنباله فیبوناچی و عدد طلایی

لئوناردو دا پیزا یا به عبارت مشهورتر فیبوناچی یکی از بزرگترین ریاضی دانان اروپا در سال 1175 در شهر پیزا متولد شد. وی به علت حرفه پدریش که بازرگانی بود به کشورهای بسیاری از جمله مصر و سوریه و . مسافرت نمود. فیبوناچی در سال 1200 به زادگاه خود یعنی شهر پیزا در ایتالیا مراجعت نمود.

معرفی سیستم اعداد اعشاری به عنوان جایگزینی بسیار کارآمدتر به جای سیستم اعداد رومی که استفاده از آن زمان امپراطوری روم رایج بوده است از جمله مهمترین کارهای این ریاضیدان بزرگ در طول حیاتش بوده است. وی در ابتدای اولین بخش از کتاب خود به نام Liber abci در مورد این سیستم چنین می گوید:

نه رقم هندی وجود دارد: 123456789 که به وسیله آنها و همچنین علامت. که در عربی صفر نامیده می شود می توان هر عددی را به شیوه هایی که توضیح داده خواهد شد نوشت.

موارد قابل توجه زیادی در مورد زندگی این ریاضیدان وجود دارد که شاید در مختصر نوشته ای در آینده با نام معرفی فیبوناچی به آنها اشاره خواهیم نمود.

اما آنچه در اینجا موردبحث قرار خواهد گرفت دنباله ای از اعداد می باشد که همه ما در دوران دبیرستان با این دنباله به عنوان یکی از مصادیق دنباله های بازگشتی آشنا شده ایم. هرچند که این دنباله در نگاه اول بسیار ساده و معمولی به نظر می رسد ولی روابط و نکات قابل توجهی در مورد این دنباله ساده وجود دارد که سالیان است

توجه بسیاری از متخصصین نظریه اعداد را به خود معطوف کرده و آنها را به شگفتی واداشته است.

2-1- دنباله فیبوناچی چیست:

در دوران حیات فیبوناچی مسابقات ریاضی در اروپا بسیار مرسوم بود. در یکی از همین مسابقات که در سال 1225 در شهر پیزا توسط امپراطور فردریک دوم برگزار شده بود مسئله زیر مطرح شد.

فرض کنیم خرگوشهایی وجود دارند که هر جفت (یک نر و یک ماده) از آنها که به سن یک ماهگی رسیده باشند به ازاء هر ماه که از زندگیشان سپری شود یک جفت خرگوش متولد می کنند که آنها هم از همین قاعده پیروی می کنند. حال اگر فرض کنیم این خرگوشها هرگز نمی میرند و در آغاز یک جفت از این نوع خرگوش ها در اختیار داشته باشیم که به تازگی متولد شده اند حساب کنید پس از n ماه چند جفت از این نوع خرگوش خواهیم داشت.

فرض کنیم Xn تعداد جفت خرگوش پس از n ماه باشد، می دانیم که X 2 = 1,X 1 = 1، تعداد جفت خرگوشها در ماه n+ 1 ام برابر خواهد بود با حاصلجمع تعدادجفت خرگوشهایی که در این ماه متولد می شوند با تعداد جفت خرگوشهای موجود (Xn). اما چون هر جفت خرگوش که از دو ماه قبل موجود بوده هم اکنون حداقل دوماه سن خواهند داشت و به سن زاد و ولد رسیده اند تعداد جفت خرگوشهای متولد شده برابر خواهدبود با Xn-1 پس خواهیم داشت:

X 1 = 1, X 2 = 1, Xn+ 1 =Xn+Xn-1

که اگر از قواعد مذکور پیروی کنیم به دنباله زیر خواهیم رسید که به دنباله فیبوناچی مشهور است.

فیبوناچی با حل این مسئله از راه حل فوق دنباله حاصل را به جهان ریاضیات معرفی کرد که خواص شگفت انگیز و کاربردهای فراوان آن تا به امروز نه تنها نظر ریاضیدانان بلکه دانشمندان بسیاری از رشته های دیگر را به خود جلب کرده است.

3-1- عدد طلایی چیست:

پیشینه توجه به این عدد نه به زمان فیبوناچی بلکه به زمانهای بسیار دورتر می رسد. اقلیدس در قضیه

سی ام جلد ششم از سیزده جلد کتاب مشهور خود که در آنها هندسه اقلیدسی را بنا نهاد این نسبت را مطرح کرده است.

لوکا پیشولی (Luca Pacioli) در سال 1509 پس از میلاد کتابی با عنوان نسبت الهی

(The Divine Propotion) تالیف کرد. وی در آن نقاشی هایی از لئوناردو داوینچی آورده است که پنج جسم افلاطونی را نمایش می دهند و در آنها نیز به این نسبت اشاره شده است.

در این نوشته نماد یونانی (Phi)? را برای عدد طلایی برمی گزینیم. هرچند بعضی از ریاضیدانان از نمادهای دیگری مانند (Tau) نیز برای نمایش این عدد استفاده نموده اند.

4-1- تعریف عدد طلایی:

عدد طلایی عددی مثبت است که اگر به آن یک واحد اضافه کنیم به مربع آن خواهیم رسید و یا عددی که یک واحد از معکوس خود بزرگتر باشد را عدد طلایی می نامیم. در اثر هر دو تعریف به یک معادله درجه دوم دست دنباله فيبوناچي و عدد طلايي خواهیم یافت.

اگر طرفین را در Phi ضرب کنیم خواهیم داشت: Phi 2 = Phi + 1

عبارت فوق از ساده ترین تعاریف برای عدد طلایی می باشد.

برای پیداکردن مقدار این عدد کافی است معادله درجه دوم (1) را حل کنیم. می توان این معادله را از روش عمومی حل معادلات درجه دوم به آسانی حل کرد و یا از راه حل زیر برای آن استفاده کرد:

از آنجا که عدد موردنظرما مثبت است عدد طلایی برابر خواهد بود با، اما ریشه دیگر معادله نیز از بابت کاربرد برای ما حائز اهمیت می باشد که آن را با نمایش می دهیم.

اگر نگاه دقیق تری به دو ریشه حاصل از معادله داشته باشیم به روابط جالبی بین آنها دست خواهیم یافت که به راحتی قابل اثبات می باشند، به عنوان مثال:

5-1- ارتباط عدد طلایی با دنباله فیبوناچی:

روشهای متفاوتی برای بیان رابطه بین عدد طلایی و دنباله فیبوناچی وجود دارد که ما در اینجا به چند نمونه اشاره می کنیم.

1- اگر معادله خط را در نظر بگیریم چون Phi که به عنوان شیب این خط در نظر گرفته شده عددی است گنگ و نمی توان آن را به صورت حاصل تقسیم دو عدد صحیح نوشت خط از هیچ نقطه ای با مختصات (i , j) به طوریکه j ,i هر دو عدد صحیح باشند